En physique, et plus particulièrement en ingénierie, il est parfois impossible de faire des tests grandeur nature de phénomènes physiques, comme des écoulements complexes, des combustions, ou encore des essais de résistance de structures. Les chercheurs et ingénieurs ont donc recours à des simulations sur ordinateurs. Mais, ces simulations reflètent-elles vraiment la réalité ? Sont-elles fiables, et sur quels principes fonctionnent-elles ?

Imaginons que nous voulons simuler l’écoulement de l’air autour de notre voiture roulant à pleine vitesse. Nous allons voir toutes les étapes nécessaires à cette simulation.

Mise en équation du problème

Tous les phénomènes physiques sont régis par des « lois ». En effet, grâce à l’observation et la quantification de la Nature, les physiciens ont pu établir des principes permettant de prévoir des phénomènes physiques dans le temps, et dans l’espace. Par exemple, si nous lâchons une balle au sol, nous pouvons prévoir sa trajectoire grâce au Principe Fondamental de la dynamique, stipulant que la somme des forces extérieures appliquées à un objet est égale à sa masse multiplié par son accélération.  En appliquant ces principes,  nous pouvons mettre en équation le problème. Cependant, tous ces principes ne sont pas parfaitement fidèles à la réalité. En effet, ce ne sont que des modèles que nous considérons comme satisfaisants. Pour notre balle, nous aurions pu utiliser un autre principe pour décrire son mouvement (principe de la relativité) mais les équations seraient bien trop compliquées, avec finalement, un résultat semblable. Nous avons restreint notre modèle en faisant certaines hypothèses, afin d’obtenir des équations simples, et résolubles en un temps raisonnable.

Pour modéliser le comportement du fluide autour de notre voiture, nous appliquons le principe fondamental de la dynamique  (un peu modifié par rapport à celui utilisé pour la balle) et nous obtenons des équations mathématiques décrivant la vitesse et la pression en un point du fluide, au cours du temps.

Mise en équation

Dès la mise en équation du problème, nous commençons à nous éloigner de la solution exacte. En effet, pour modéliser parfaitement le système réelle, il faudrait prendre en compte TOUS les phénomènes de la nature, et TOUTES les particules de notre système. Cela est, aujourd’hui, techniquement impossible. Nous avons donc recourt à des principes généraux décrivant le comportement des systèmes physiques. Ils ne sont pas parfaits, mais conviennent amplement la plupart du temps.

Discrétisation

Grâce  aux équations décrivant notre système, nous pouvons prévoir le comportement de ce dernier en tout point et pour n’importe quelle durée. Si l’on prend au hasard un point du fluide, on est capable de décrire son comportement dans le futur. On dit que le milieu du fluide est continu : Le fluide est composé d’une infinité de point. Or, un ordinateur représente les données de manière binaire, c’est-à-dire avec un nombre fini de 0 et de 1. Pour lui, il est impossible de représenter le fluide de façon continue. Une discrétisation du fluide est ainsi nécessaire afin que l’ordinateur procède à la résolution des équations. C’est le « maillage ». Nous allons quadriller l’air, et nous intéresser aux portions formées par ce quadrillage.

Création du maillage

Au sein d’une maille, le fluide possède des propriétés uniformes (même vitesse, et même pression). Dans notre cas, une maille contient 3 informations : la vitesse du fluide au sein de la maille, sa pression, et les coordonnées de la maille.

Informations contenues au sein d’une maille

Grossièrement, on peut faire une analogie avec la vision et les photos numériques. Dans le monde réel, il n’y a pas de pixel, les nuances de couleurs sont continues. A notre échelle, si on zoom fortement, on ne verra pas de petits carrés représentant une couleur unique. Or, si prend une photo à l’aide d’un appareil numérique, l’image est discrétisée et quadrillée en pixel. Si on zoom suffisamment  sur cette image numérisée, on pourra distinguer ces carrés de couleur uniforme, représentant les pixels.

Bien sûr, plus le maillage est fin (c’est-à-dire plus les portions sont petites, plus le résultat final sera précis.) Sur une photo, plus il y a de pixel, plus elle est nette : elle se rapproche de la réalité. Il faut également adapté la finesse du maillage (taille des pixels) avec les phénomènes étudiés. En effet, si impose une taille de maille de l’ordre du centimètre, les phénomènes physiques plus petits que le centimètre seront invisibles.

Il faut également adapter l’équation décrivant le système pour que l’ordinateur la comprenne. En effet, les équations fonctionnent dans un monde continu, alors que l’ordinateur fonctionne avec un monde discrétisé ! Cela nous éloigne encore un peu plus de la solution exact, car on « pixelise » le système. (Dans notre cas l’air). Cependant, on peut réduire la taille du maillage pour réduire cette erreur. En contre partie, l’ordinateur aura beaucoup de mal à traiter, ce qui augmentera sa durée de résolution des équations. Il faut donc trouver un compromis entre la finesse du maillage, et le temps de traitement de l’ordinateur.

Calcul informatique

Après avoir appliqué nos équations à notre maillage, l’ordinateur n’a plus qu’à les résoudre. Cela tombe bien, c’est ce qu’il sait faire de mieux ! Il va ainsi appliquer l’équation à chaque maille, afin de prédire la vitesse et la pression du fluide au sein de ces dernières.  Cependant, l’ordinateur ne représente pas parfaitement les nombres. En effet, certains d’entre eux possèdent une infinité de chiffre après la virgule. Par exemple, 1/3 est égale à 0.33333333…,  avec une infinité de 3 après la virgule. Malheureusement, l’ordinateur ne peut pas représenter cette infinité de chiffre. Il est obligé de  tronquer le nombre. Ainsi, il va représenter 1/3 comme 0.333333333 (par exemple).  Pour chaque calcul, une troncature va être effectuée. A long terme, cela va induire une erreur par rapport au résultat obtenu sans troncature. Cela nous éloigne encore un peu plus du résultat exact !

Conclusion

Comme nous l’avons vu, les simulations de phénomènes physiques ne sont pas vraiment fidèle à la réalité. En effet, même si elles sont très précises, les équations que nous utilisons pour modéliser des phénomènes physiques sont souvent simplifiées. Pour qu’un ordinateur puisse résoudre ces équations, il est nécessaire de mailler l’environnement que l’on veut simuler, et adapté les équations à ce maillage. Cela induit une fois de plus un erreur par rapport au résultat exact, suivi par des erreurs de troncatures lors des calculs de l’ordinateur.