Durant votre scolarité, vous avez sans doute utilisé l’intégrale comme un outil mathématique permettant de calculer l’aire sous la courbe d’une fonction. Cependant, en sciences fondamentales ou appliquées, c’est un outil essentiel possédant un véritable sens physique !

Un outil mathématique

Durant l’apprentissage des mathématiques, la première utilisation de l’intégrale est le calcul de l’aire sous une courbe. En effet, si f est une fonction, alors l’intégrale entre a et b de cette dernière correspond exactement à l’aire sous sa courbe. Cette intégrale est notée : Latex formula

Pour calculer une intégrale, il suffit de connaitre la primitive de la fonction f. Notons la F. On a alors : Latex formula

Une intégrale permet donc de calculer l’aire sous la courbe d’une fonction, mais pourquoi ?

Signification de l’intégrale

Imaginons que vous êtes propriétaire d’un terrain de côtés L1 et L2. L’aire de ce terrain est L1xL2.

Maintenant, si vous avez acheté une nouvelle passerelle de longueur L3 par L2, alors l’aire de votre nouveau terrain est L1xL2 (aire du premier rectangle) + L3xL2 (aire du deuxième rectangle).

Imaginons maintenant que vous avez acheté un terrain non pas rectangulaire, mais d’une forme quelconque, dont l’extrémité suit la forme de la courbe d’une fonction f(x).

Terrain assimilable à une fonction f

Pour calculer l’aire du terrain, nous allons diviser ce dernier en d’innombrables petites parties selon la longueur, d’épaisseur dx. (dx est donc très très petit. Théoriquement, on ne devrait pas l’apercevoir à l’œil nu)

L’aire totale du terrain est donc la somme de l’aire de toutes ces petites parties d’épaisseur dx. Il reste donc à calculer l’aire de ces dernières. Or, dx étant tellement petit, on peut supposer que f est constant sur l’épaisseur dx. Toutes nos petites parties sont donc des rectangles, d’épaisseur dx et de hauteur f(x).  Par exemple, prenons un rectangle situé en Latex formula.

L’aire de ce rectangle vaut Latex formula. Il ne nous reste plus qu’à ajouter l’aire de toutes ces petites portions, de Latex formula à Latex formula, afin d’obtenir l’aire totale du terrain.

La somme classique que nous connaissons et que nous avons utilisé précédemment s’utilise pour sommer des valeurs dénombrables, c’est-à-dire que l’on peut compter. Dans notre cas, il y a une infinité de petites parties. Il nous faut donc un outil pour les sommer de façon continue. Et bien c’est l’intégrale ! En effet, une intégrale n’est rien d’autre qu’une somme de valeur dont la contribution est continue. Dans notre exemple ci-dessus, on somme l’aire de chaque portion de largeur dx et de hauteur f (x). Les dx étant de longueur infinitésimale, on peut considérer leurs successions comme continues. Nous avons sommé l’aire de rectangles d’épaisseur infinitésimale. Ainsi, l’aire du terrain vaut : Latex formula

Sommer des grandeurs physiques

Bien sûr,  l’intégrale sert à sommer toutes sortes de grandeurs physiques ! Prenons par exemple un barrage retenant de l’eau de surface S.

Barrage soumis aux forces de pression de l’eau

Nous voulons calculer la force qu’exerce la pression de l’eau sur notre barrage. Pour calculer la force résultante d’une pression uniforme, il faut tout simplement multiplier cette dernière par la surface où elle est exercée. Si une plaque de surface S reçoit une pression uniforme P alors la force que subit la plaque vaut PxS. Nous allons donc faire pareil pour notre barrage. Cependant, la pression de l’eau n’est pas uniforme ! Elle varie en fonction de la profondeur.

Comme précédemment, discrétisons notre barrage en surfaces infinitésimales ds.

Barrage discrétisé

 

Barrage (très) fortement agrandi

La force subie par cette petite surface vaut p(z) (pression de l’eau à la profondeur z) multiplié par la surface ds. Pour avoir la force totale exercée sur le barrage, il faut ajouter chaque force sur toute la surface du barrage. Ainsi, la force totale exercée par la pression de l’eau sur le barrage est la somme de ces petites forces infinitésimales de Latex formula à Latex formula. Ainsi, la force globale vaut : Latex formula avec s parcourant toute la surface du barrage.

Conclusion

L’intégrale est un outil mathématique permettant de calculer l’aire sous la courbe d’une fonction. En effet, elle représente une somme de valeur dont la contribution est continue. En science, ces valeurs sont des grandeurs physiques !